Question

如圖1所示，將一個邊長為2的正方形ABCD和一個長為2、寬為1的長方形CEFD拼在一起，構成一個大的長方形ABEF.現將小長方形CEFD繞點C順時針旋轉至,旋轉角為.

（1）當點恰好落在EF邊上時，求旋轉角的值；

（2）如圖2，G為BC的中點，且0⁰＜＜90⁰，求證：；

（3）小長方形CEFD繞點C順時針旋轉一周的過程中，與能否全等？若能，直接寫出旋轉角的值；若不能，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）∠α=30⁰（2）見解析（3）旋轉角a的值為135⁰或315⁰時，△BCD′與∠DCD′全等

【解析】解：（1）∵長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D′，∴CD′=CD=2。

在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，∴sinα=。∴∠CD′E=30⁰。

∵CD∥EF，∴∠α=30⁰。

（2）證明：∵G為BC中點，BC=2，∴CG=1。∴CG=CE。

∵長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D′，

∴∠D′CE′=∠DCE=90⁰，CE=CE′CE。∴∠GCD′=∠DCE′=90⁰+α。。

在△GCD′和△∠DCE′中，

∵，∴△GCD′≌△∠DCE′（SAS）。∴GD′=E′D。

（3）能。理由如下：

∵四邊形ABCD為正方形，∴CB=CD。

∵CD=CD′，∴△BCD′與∠DCD′為腰相等的兩等腰三角形。

當∠BCD′=∠DCD′時，△BCD′≌∠DCD。

當△BCD′與∠DCD′為鈍角三角形時， ；

當△BCD′與∠DCD′為銳角三角形時，。

∴旋轉角a的值為135⁰或315⁰時，△BCD′與∠DCD′全等。

（1）根據旋轉的性質得CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，則∠CD′E=30⁰，然后根據平行線的性質即可得到∠α=30⁰。

（2）由G為BC中點可得CG=CE，根據旋轉的性質得∠D′CE′=∠DCE=900，CE=CE′CE，則∠GCD′=∠DCE′=90⁰+α，然后根據“SAS”可判斷△GCD′≌△∠DCE′，GD′=E′D。

（3）根據正方形的性質得CB=CD，而CD=CD′，則△BCD′與∠DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當兩頂角相等時它們全等，當△BCD′與∠DCD′為鈍角三角形時，可計算出α=135⁰，當△BCD′與∠DCD′為銳角三角形時，可計算得到α=315⁰。