Question

如圖1所示，將一個邊長為2的正方形ABCD和一個長為2、寬為1的長方形CEFD拼在一起，構成一個大的長方形ABEF．現將小長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D′，旋轉角為a．
（1）當點D′恰好落在EF邊上時，求旋轉角a的值；
（2）如圖2，G為BC中點，且0°＜a＜90°，求證：GD′=E′D；
（3）小長方形CEFD繞點C順時針旋轉一周的過程中，△DCD′與△CBD′能否全等？若能，直接寫出旋轉角a的值；若不能說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據旋轉的性質得CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，則∠CD′E=30°，然后根據平行線的性質即可得到∠α=30°；
（2）由G為BC中點可得CG=CE，根據旋轉的性質得∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′CE，則∠GCD′=∠DCE′=90°+α，然后根據“SAS”可判斷△GCD′≌△DCE′，
則GD′=E′D；
（3）根據正方形的性質得CB=CD，而CD=CD′，則△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當兩頂角相等時它們全等，當△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時，可計算出α=135°，當△BCD′與△DCD′為銳角三角形時，可計算得到α=315°．
解答：（1）解：∵長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D′，
∴CD′=CD=2，
在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，
∴∠CD′E=30°，
∵CD∥EF，
∴∠α=30°；

（2）證明：∵G為BC中點，
∴CG=1，
∴CG=CE，
∵長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D′，
∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，
∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，
在△GCD′和△DCE′中
，
∴△GCD′≌△E′CD（SAS），
∴GD′=E′D；

（3）解：能．理由如下：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴CB=CD，
∵CD=CD′，
∴△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，
當∠BCD′=∠DCD′時，△BCD′≌△DCD′，
當△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時，α==135°，
當△BCD′與△DCD′為銳角三角形時，α=360°-=315°，
即旋轉角a的值為135°或315°時，△BCD′與△DCD′全等．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了正方形、矩形的性質以及三角形全等的判定與性質．