Question

6．如圖，∠EOF=48°，OP平分∠EOF，點C在射線OP上，點A、B分別是射線OE、OF上的兩動點（點A、B不與點O 重合），連接AB交射線OP于點D，連接CB，設∠EAB=α．
（1）如圖1，若BC∥OE，則
①∠OCB=24°
②若∠CDB=∠CBD，試求α的值；
（2）如圖2，若CB⊥OP，則是否存在這樣的α，使得△CDB中有兩個內角相等？若存在，請直接寫出α的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1①由角平分線定義得出∠AOP=∠BOP=24°，再由平行線的性質得出∠OCB=∠AOP=24°即可；
②由三角形內角和定理求出∠CBD=78°，再由平行線的性質得出∠EAB=102°即可；
（2）分兩種情況：①點D在線段OC上時，求出∠OBC=66°，由已知條件證出△CDB是等腰直角三角形，得出∠CBD=∠CDB=45°，求出∠OBD=21°，由三角形的外角性質得出∠EAB=∠EOF+∠OBD，即可得出結果；
②點D在射線OC上時，由①得：∠OBD=∠OBC+∠CBD=111°，再由三角形的外角性質即可得出結果．

解答 解：（1①如圖1：∵∠EOF=48°，OP平分∠EOF，
∴∠AOP=∠BOP=24°
∵BC∥AE，
∴∠OCB=∠AOP=24°；
故答案為：24；
②∵∠CDB=∠CBD，∠OCB=24°，
∴∠CBD=（180°-24°）÷2=78°，
∵BC∥OE，
∴∠EAB+∠CBD=180°，
∴∠EAB=180°-78°=102°，
即α=102°；
（2）存在這樣的α，使得△CDB中有兩個內角相等，α為69°或159°．理由如下：
分兩種情況：
①點D在線段OC上時，如圖2所示：
∵CB⊥OP，
∴∠OCB=90°，
∵∠BOP=24°，
∴∠OBC=90°-24°=66°，
∵△CDB中有兩個內角相等，
∴△CDB是等腰直角三角形，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
∴∠OBD=66°-45°=21°，
∴∠EAB=∠EOF+∠OBD=48°+21°=69°，
即α=69°；
②點D在射線OC上時，如圖3所示：
由①得：∠OBD=∠OBC+∠CBD=66°+∠45°=111°，
∴∠EAB=∠EOF+∠OBD=48°+111°=159°，
即α=159°；
綜上所述：存在這樣的α，使得△CDB中有兩個內角相等，α為69°或159°．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了平行線的性質、角平分線定義、等腰直角三角形的判定與性質、三角形的內角和定理和三角形的外角性質的應用；熟練掌握三角形內角和定理和三角形的外角性質是解決問題的關鍵．