Question

如圖Rt△ABC中，∠A=90°，tanB=

3

4

，點D以每秒4個單位的速度從點B沿BA向終點A移動，點E、F分別在線段BC，AC上，且四邊形ADEF是矩形，設AB長為a，運動時間為x，矩形ADEF的面積為y，已知y是x的函數，其圖象是過點（1，24）的拋物線的一部分．
（1）求y與x之間的函數關系式（用含a的代數式表示）；并求AB的長；
（2）在（1）的條件下求：
①當x為何值時，矩形ADEF的面積最大，并求出最大值．
②以線段AF為直徑作⊙O₁，以線段BE為直徑作⊙O₂，根據⊙O₁和⊙O₂的交點個數求相應的x的取值范圍．

Answer 1

分析：先根據三角形的性質，得出AD、DE的表示式，從而得出所求的函數，然后利用拋物線的性質求出AB的長；根據所求的函數，在限定的范圍內，根據拋物線的性質可求出最高點，從而求出面積的最大值；根據兩圓心之間的距離及半徑的關系進行分析即可得出所求．

解答：解：（1）由圖形及題意可知：
AD=a-4x，BD=4x，
又tanB=

3

4

，
所以

DE

BD

=

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4

，則DE=3x，
因此矩形ADEF的面積為y=AD×DE=（a-4x）×3x=-12x²+3ax，
即y與x之間的函數關系式為y=-12x²+3ax，
又∵y=-12x²+3ax的圖象是過點（1，24）的拋物線的一部分，
∴24=-12×1+3a
解得a=12
即AB的長為12；

（2）①由（1）知，y=-12x²+36x
所以y=-12(x- 

3

2

) 2+27，
則知當x=

3

2

時，矩形ADEF的面積最大，最大值為27；
②AF=DE=3x，BE=5x，
則可知⊙O1的半徑為1.5x，⊙O2的半徑為2.5x，兩圓心之間的距離為12-2x，
當兩圓有1個交點時，即4x=12-2x，
解得：x=2
所以當兩圓有0個交點時，x＜2；
當兩圓有2個交點時，x＜12-2x＜4x
∴2＜x≤3．

點評：本題考查的是二次函數的實際應用．同時結合了圖形及面積的計算，是一道不可多得的好題．