Question

如圖（1），在□ABCD中，P是CD邊上的一點，AP與BP分別平分∠DAB和∠CBA。

小題1:判斷△APB是什么三角形？證明你的結論；
小題2:比較DP與PC的大小；
小題3:如圖（2）以AB為直徑作半圓O，交AD于點E，連結BE與AP交于點F，若AD=5cm，AP=8cm，求證△AEF∽△APB，并求tan∠AFE的值。

Answer 1

小題1:△APB是直角三角形，理由如下：
∵在□ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB +∠ABC = 180°；
又∵AP與BP分別平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB =，∠PBA =，
∴∠PAB+∠PBA=，
∴△APB是直角三角形；
小題1:∵DC∥AB，
∴∠BAP =∠DPA．
∵∠DAP =∠PAB，
∴∠DAP =∠DPA，
∴DA = DP
同理證得CP=CB．
∴DP = PC
小題1:∵AB是⊙O直徑，
∴∠AEB = 90°．
又（1）易知∠APB = 90°．
∴∠AEB =∠APB，
∵AP為角平分線，即∠EAF=∠PAB，
∴△AEF∽△APB，
由（2）可知DP =" PC" = AD，
∴ AB =" DC" =" 2AD" = 10cm，
在Rt△PAB中，（cm）
又△AEF∽△APB，
得∠AFE=∠ABP，
∴tan∠AFE = tan∠ABP=。

小題1:可通過角的度數來判斷三角形APB的形狀．由于ABCD是平行四邊形，AD∥BC，那么同旁內角∠DAB和∠CBA的和應該是180°，AP，BE平分∠DAB，∠ABP，于是∠PAB和∠ABP的和就應該是90°，即∠APB=90°，因此可得出三角形APB的形狀．
小題1:可通過平行和角平分線，通過等角對等邊得出DP=AP，同理可證出PC=BC，根據平行四邊形的性質，AD=BC，可得出DP=PC．
小題1:利用兩個角相等求出△AEF∽△APB，然后利用（2）求出PB的長度，在根據∠AFE=∠ABP，然后求出tan∠AFE的值.