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(2010•鯉城區(qū)質(zhì)檢)如圖,已知△ABC中,∠ABC=90°,以CB為直徑的⊙O交CA于點E,過點E作AB的平行線交CB于點F,交⊙O于點G,若⊙O的半徑為5,EG=8.
(1)求BF的長;
(2)若點D是AB的中點,連接DE.
①證明:DE是⊙O的切線;
②求直角梯形BDEF的腰(DE)長.

【答案】分析:(1)連接OE,由于EG∥AB,∠ABC=90°,EG=8,易證OF⊥EG,再利用垂徑定理可知EF=FG;在Rt△OEF中利用勾股定理可求OF,即可求BF;
(2)①由于BC是直徑,那么∠BEC=∠AEB=90°,而D是AB中點,則DE=DB,于是∠DEB=∠DBE,同理OB=OD,也有∠OEB=∠OBE;由于∠ABC=∠DBE+∠OBE=90°,所以有∠DEB+∠OEB=90°,即DE是⊙O的切線;
②過點D作DH⊥EG于H,易證四邊形HDBF是矩形,設DE=x,由于∠ABC=90°,則AB是⊙O的切線;由①知DE是⊙O的切線,于是可得BD=DE=x,矩形HDBF中有HF=BD=x;在Rt△DEH中,利用勾股定理可得關于x的一元二次方程,解即可求DE.
解答:(1)解:連接OE.(1分)
∵EG∥AB,∠ABC=90°,EG=8,
∴OF⊥EG(2分)
∴EF=FG=4(3分)
在Rt△OEF中由勾股定理得==3,
∴BF=OB-OF=5-3=2(4分)

(2)①證明:∵BC是⊙O的直徑,
∴∠BEC=∠AEB=90°,(5分)
∵點D是AB的中點,
∴ED=BD,
∴∠DEB=∠DBE,(6分)
∵OB=OE,
∴∠OEB=∠OBE,
∵∠OED=∠OEB+∠DEB=∠DBE+∠OBE=∠DBC=90°,
∴DE是⊙O的切線;(7分)
②解:過點D作DH⊥EG于H,設DE=x,(8分)
∵∠ABC=90°,
∴AB是⊙O的切線,
由①知DE是⊙O的切線,
∴BD=DE=x,矩形HDBF中有HF=BD=x,(9分)
∴EH=4-x,
在Rt△DEH中,∠DHE=90°,由勾股定理得DE2=EH2+DH2
∴x2=(4-x)2+22
解得,即DE的長為.(10分)
點評:本題利用了垂徑定理、勾股定理、切線的判定、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、直徑所對的圓周角等于90°、矩形的判定和性質(zhì).
練習冊系列答案
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