Question

若x₁，x₂是關于x的方程x²+bx+c=0的兩個實數根，且|x₁|+|x₂|=2|k|（k是整數），則稱方程x²+bx+c=0為“偶系二次方程”．如方程x²﹣6x﹣27=0，x²﹣2x﹣8=0，，x²+6x﹣27=0，x²+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．
（1）判斷方程x²+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并說明理由；
（2）對于任意一個整數b，是否存在實數c，使得關于x的方程x²+bx+c=0是“偶系二次方程”，并說明理由．

Answer 1

（1）不是。理由見解析
（2）存在。理由見解析

試題分析：（1）求出原方程的根，再代入|x₁|+|x₂|看結果是否為2的整數倍就可以得出結論。
（2）設c=mb²+n，由條件x²﹣6x﹣27=0和x²+6x﹣27=0是偶系二次方程建模，就可以表示出c，然后根據公式法就可以求出其根，再代入|x₁|+|x₂|就可以得出結論。
解：（1）不是。理由如下：
解方程x²+x﹣12=0得，x₁=3，x₂=﹣4。
|x₁|+|x₂|=3+4=7=2×3.5．
∵3.5不是整數，∴x²+x﹣12=0不是“偶系二次方程。；
（2）存在。理由如下：
假設c=mb²+n，
∵x²﹣6x﹣27=0和x²+6x﹣27=0是偶系二次方程，
∴當b=﹣6，c=﹣27時，﹣27=36m+n。
∵x²=0是偶系二次方程，∴n=0時，m=。∴c=b²。
∵是偶系二次方程，當b=3時，c=×3²。
∴可設c=b²。
對于任意一個整數b，c=b²時，
△=b²﹣4c=4b²≥0，，∴x₁=b，x₂=b。
∴|x₁|+|x₂|=2b。
∵b是整數，
∴對于任何一個整數b，c=b²時，關于x的方程x²+bx+c=0是“偶系二次方程”。