Question

如圖，在第一象限內，雙曲線y=

6

x

上有一動點B，過點B作直線BC∥y軸，交雙曲線y=

1

x

于點C，作直線BA∥x軸，交雙曲線y=

1

x

于點A，過點C作直線CD∥x軸，交雙曲線y=

6

x

于點D，連接AC、BD．
（1）當B點的橫坐標為2時，①求A、B、C、D四點的坐標；②求直線BD的解析式；
（2）B點在運動過程中，梯形ACDB的面積會不會變化？如會變化，請說明理由；如果不會變化，求出它的固定值．

Answer 1

分析：（1）①將點B的橫坐標代入，得出點B的縱坐標，然后根據題意代入可得出A、B、C、D四點的坐標．②根據B、D的坐標，利用待定系數法求解即可；
（2）設B點的坐標為（m，

6

m

），繼而得出A、C、D的坐標，表示出梯形ACDB的面積，然后可得出答案．

解答：解：（1）①把x=2代入y=

6

x

，得y=3，
故點B的坐標為（2，3），
把x=2代入y=

1

x

，得y=

1

2

，
故C（2，

1

2

），
把y=3代入y=

1

x

，得x=

1

3

，
故點A的坐標為（

1

3

，3），
把y=

1

2

代入y=

6

x

，得x=12，
故點D的坐標為（12，

1

2

）；
②設直線BD所表示的函數關系式為：y=kx+b，
由題意得，

3=2k+b 1 2 =12k+b

，
解得

k=- 1 4 b= 7 2

，
故直線AB所表示的函數關系式為：y=-

1

4

x+

7

2

．

（2）設B點的坐標為（m，

6

m

），
則A（

m

6

，

6

m

）、C（m，

1

m

）、D（6m，

1

m

），
∴AB=m-

m

6

=

5

6

m，CD=6m-m=5m，BC=

6

m

-

1

m

=

5

m

，
∴S_梯形ACDB=

1

2

（

5

6

m+5m）×

5

m

=

1

2

×

35

6

×5=

175

12

，
故B點在運動過程中，梯形ACDB的面積不變，恒等于

175

12

．

點評：本題屬于反比例函數的綜合題，涉及了梯形的面積、點的坐標與線段長度之間的轉化及待定系數法求函數解析式的知識，綜合性較強，解答本題的關鍵是熟練掌握各個知識點，并能靈活運用，融會貫通．