Question

如圖，在△ABC的一邊AB上有一點P．
（1）能否在另外兩邊AC和BC上各找一點M、N，使得△PMN的周長最短？若能，請
畫出點M、N的位置；若不能，請說明理由；
（2）若∠ACB=48°，在（1）的條件下，求出∠MPN的度數．

Answer 1

分析：（1）如圖：作出點P關于AC、BC的對稱點D、G，然后連接DG交AC、BC于兩點，標注字母M、N；
（2）根據對稱的性質，易求得∠C+∠EPF=180°，由∠ACB=48°，易求得∠D+∠G=48°，繼而求得答案．

解答：解：（1）①作出點P關于AC、BC的對稱點D、G，
②連接DG交AC、BC于兩點，
③標注字母M、N；
           
（2）∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴∠C+∠EPF=180°，
∵∠C=48°，
∴∠EPF=132°，
∵∠D+∠G+∠EPF=180°，
∴∠D+∠G=48°，
由對稱可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM=48°，
∴∠MPN=132°-48°=84°．

點評：此題考查了最短路徑問題以及線段垂直平分線的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．