Question

已知如圖，在△ABC的外接圓中，D是弧BC的中點，AD交BC于點E，∠ABC的平分線交AD于點F．
（1）若以每兩個相似三角形為一組，試問圖中有幾組相似三角形，并且逐一寫出．
（2）求證：FD²=AD•ED．

Answer 1

（1）解：連結BD、CD，共有△ACF和△BDF，△ABE和△CDE，△ACD和△CED，△ADC△ABE，△ABD△BED，5組三角形相似；

（2）證明：∵弧BD=弧CD．
∴∠DBE=∠BAF；
又∵∠EBF=∠ABF．
∴∠EBF+∠DBE=∠ABF+∠BAF．
即∠DBF=∠DFB，得BD=FD．
∵∠DBE=∠DAB，∠BDE=∠ADB．
∴△BDE∽△ADB，
∴，
∴BD²=AD•ED．
∴FD²=AD•ED．
分析：（1）連結BD、根據相似三角形的判定方法：有兩對相等的角相等的三角形相似即可找到相似三角形的組數；
（2）易證∠DBE=∠BAF，再證明，∠BDE=∠ADB，進而證明△BDE∽△ADB，由相似三角形的性質可得：即BD²=AD•ED，又因為BD=FD，所以FD²=AD•ED．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質以及角平分線的定義和圓周角定理，題目難度中等．