Question

設a²+2a-1=0，b⁴-2b²-1=0，且1-ab²≠0，求(

ab2+b2-2a+1

a

)2003的值．

Answer 1

分析：解法一：根據1-ab²≠0的題設條件求得b²=-a，代入所求的分式化簡求值．
解法二：根據a²+2a-1=0，解得a=-1+

2

或a=-1-

2

，由b⁴-2b²-1=0，解得：b²=

2

+1，把所求的分式化簡后即可求解．

解答：解法一：
解：∵a²+2a-1=0，b⁴-2b²-1=0
∴（a²+2a-1）-（b⁴-2b²-1）=0
化簡之后得到：（a+b²）（a-b²+2）=0
若a-b²+2=0，即b²=a+2，則1-ab²=1-a（a+2）=1-a²-2a=0，與題設矛盾，所以a-b²+2≠0
因此a+b²=0，即b²=-a
∴(

ab2+b2-2a+1

a

)2003=(

-a2-a-2a+1

a

)2003=[

(2a-1)-3a+1

a

]2003=（-1）²⁰⁰³=-1

解法二：
解：a²+2a-1=0（已知），解得a=-1+

2

或a=-1-

2

，
由b⁴-2b²-1=0，解得：b²=

2

+1，
∴

ab2+b2-2a+1

a

=b²+

b2

a

-2+

1

a

=

2

+1-2+

b2+1

a

，
當a=

2

-1時，原式=

2

+1-2+4+3

2

=4

2

+3，
∵1-ab²≠0，∴a=

2

-1舍去；
當a=-

2

-1時，原式=

2

+1-2-

2

=-1，
∴（-1）²⁰⁰³=-1，
即(

ab2+b2-2a+1

a

)2003=-1．

點評：本題考查了因式分解、根與系數的關系及根的判別式，解題關鍵是注意1-ab²≠0的運用．