Question

設a²+2a-1=0，b⁴-2b²-1=0，且1-ab²≠0，則(

ab2+b2-2a+1

a

)2012=

1

．

Answer 1

分析：將兩等式左右兩邊相減，左邊整理后分解因式，根據1-ab²≠0的題設條件求得b²=-a，代入所求的分式化簡，再將a²=-2a+1代入，整理后即可求出值．

解答：解：∵a²+2a-1=0，b⁴-2b²-1=0，
∴（a²+2a-1）-（b⁴-2b²-1）=0，
化簡之后得到：（a+b²）（a-b²+2）=0，
若a-b²+2=0，即b²=a+2，則1-ab²=1-a（a+2）=1-a²-2a=0，與題設矛盾，所以a-b²+2≠0，
因此a+b²=0，即b²=-a，
又因為a²+2a-1=0，即a²=-2a+1，
則(

ab2+b2-2a+1

a

)2012
=(

-a2-a-2a+1

a

)2012
=(

2a-1-a-2a+1

a

)2012
=（-1）²⁰¹²
=1．
故答案為：1．

點評：此題考查了根與系數的關系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），當方程有解，即b²-4ac≥0時，設方程兩根分別為x₁，x₂，則有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．