Question

如圖，已知拋物線的對稱軸為直線l：x=4，且與x軸交于點A（2，0），與y軸交于點C（0，2）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）試探究在此拋物線的對稱軸l上是否存在一點P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，請說明理由；

（3）以AB為直徑作⊙M，過點C作直線CE與⊙M相切于點E，CE交x軸于點D，求直線CE的解析式．

　

　

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）利用頂點式，根據待定系數法即可求得二次函數的解析式；

（2）線段BC的長即為AP+CP的最小值；

（3）連接ME，根據CE是⊙M的切線得到ME⊥CE，∠CEM=90°，從而證得△COD≌△MED，設OD=x，在RT△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得點D的坐標，然后利用待定系數法確定線段CE的解析式即可．

【解答】解：（1）如圖1，由題意，設拋物線的解析式為：y=a（x﹣4）²+k（a≠0）

∵拋物線經過A（2，0）、C（0，2）．

∴，

解得：a=，．

∴，

即：．

令y=0，得x²﹣8x+12=0，

即（x﹣2）（x﹣6）=0，

∴x₁=2，x₂=6．

∴拋物線與x軸另﹣交于點B（6，0）．

（2）存在．

如本題圖2，連接CB交l于點P，則點P即是使AP+CP的值最小的點．

∵A、B關于l對稱，

∴AP=BP，

∴AP+CP=CB，即AP+CP的最小值為BC．

∵OB=6，OC=2，

∴．

∴AP+CP的最小值為；

（3）如圖3，連接ME，

∵CE是⊙M的切線，

∴ME⊥CE，∠CEM=90°，

由題意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE．

在△COD與△MED中，

，

∴△COD≌△MED（AAS），

∴OD=DE，DC=DM，

設OD=x，則CD=DM=OM﹣OD=4﹣x，

則在Rt△COD中，

又∵OD²+OC²=CD²，

∴x²+2²=（4﹣x）²，

解得，

∴D（，0），

設直線CE的解析式為y=mx+b，

∵直線CE過C（0，2）、D（，0）兩點，

∴，

解方程組得：．

∴直線CE的解析式為y=．

【點評】本題考查了二次函數的綜合知識以及利用軸對稱求最短路徑和待定系數法求一次函數和二次函數解析式等知識，利用數形結合得出D點坐標是解題關鍵．