Question

1．如圖所示，在等腰Rt△ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC內一點，將△PAB繞A逆時針旋轉90°得△DAC．
（1）試判斷△PAD的形狀并說明理由；
（2）連接PC，若∠APB=135°，PA=1，PB=3，求PC的長．

Answer 1

分析 （1）結論：△PAD是等腰直角三角形．只要證明△BAP≌△CAD，即可解決問題．
（2））由△BAP≌△CAD，推出PB=CD=3，∠APB=∠ADC=135°，由△PAD是等腰直角三角形，推出∠ADP=45°，∠PDC=135°-∠ADP=90°，由AP=AD=1，推出PD²=AP²+AD²=2，在Rt△PDC中，根據PC=$\sqrt{C{D}^{2}+P{D}^{2}}$計算即可．

解答 解：（1）結論：△PAD是等腰直角三角形．
理由：∵∠CAB=∠PAD=90°，
∴∠BAP=∠CAD，
在△BAP和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=CA}\\{∠BAP=∠CAD}\\{AP=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△CAD，
∴PA=AD，
∵∠PAD=90°，
∴△PAD是等腰直角三角形．

（2）∵△BAP≌△CAD，
∴PB=CD=3，∠APB=∠ADC=135°，
∵△PAD是等腰直角三角形，
∴∠ADP=45°，∠PDC=135°-∠ADP=90°，
∵AP=AD=1，
∴PD²=AP²+AD²=2，
在Rt△PDC中，PC=$\sqrt{C{D}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{9+2}$=$\sqrt{11}$

點評 本題考查旋轉的性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形，證明∠CDP=90°是本題的突破點，屬于中考常考題型．