Question

在平行四邊形ABCD中，過點C作CE⊥CD交AD于點E，將線段EC繞點E逆時針旋轉90°得到線段EF（如圖1）
（1）在圖1中畫圖探究：
①當P為射線CD上任意一點（P₁不與C重合）時，連接EP₁；繞點E逆時針旋轉90°得到線段EG₁．判斷直線FG₁與直線CD的位置關系，并加以證明；
②當P₂為線段DC的延長線上任意一點時，連接EP₂，將線段EP₂繞點E逆時針旋轉90°得到線段EG₂．判斷直線G₁G₂與直線CD的位置關系，畫出圖形并直接寫出你的結論．
（2）若AD=6，tanB=，AE=1，在①的條件下，設CP₁=x，S_△P1FG1=y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）①直線FG₁與直線CD的位置關系為互相垂直，理由為：△P₁EC按要求旋轉后得到的△G₁EF全等，再結合∠P₁CE=∠G₁FE=90°去說明；②按題目要求所畫圖形見圖1，直線G₁G₂與直線CD的位置關系為互相垂直；
（2）①當點P₁在線段CH的延長線上時，結合已知說明CE=4，且由四邊形FEHC是正方形，得CH=CE=4，再根據題設可得G₁F=x．P₁H=x-4，進而可得y與x之間的函數關系式；②當點P₁在線段CH上時，同理可得FG₁=x，P₁H=4-x，進而可得y與x之間的函數關系式；③當點P₁與點H重合時，說明△P₁FG₁不存在，再作綜合說明即可．
解答：解：（1）①直線FG₁與直線CD的位置關系為互相垂直．
證明：如圖1，設直線FG₁與直線CD的交點為H．
∵線段EC、EP₁分別繞點E逆時針旋轉90°依次得到線段EF、EG₁，
∴∠P₁EG₁=∠CEF=90°，EG₁=EP₁，EF=EC．
∵∠G₁EF=90°-∠P₁EF，∠P₁EC=90°-∠P₁EF，
∴∠G₁EF=∠P₁EC．
∴△G₁EF≌△P₁EC．
∴∠G₁FE=∠P₁CE．
∵EC⊥CD，
∴∠P₁CE=90°，
∴∠G₁FE=90度．
∴∠EFH=90度．
∴∠FHC=90度．
∴FG₁⊥CD．
②按題目要求所畫圖形見圖1，直線G₁G₂與直線CD的位置關系為互相垂直．

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠ADC．
∵AD=6，AE=1，tanB=，
∴DE=5，tan∠EDC=tanB=．
可得CE=4．
由（1）可得四邊形EFHC為正方形．
∴CH=CE=4．
①如圖2，當P₁點在線段CH的延長線上時，
∵FG₁=CP₁=x，P₁H=x-4，
∴S_△P1FG1=×FG₁×P₁H=．
∴y=x²-2x（x＞4）．
②如圖3，當P₁點在線段CH上（不與C、H兩點重合）時，
∵FG₁=CP₁=x，P₁H=4-x，
∴S_△P1FG1=×FG₁×P₁H=．
∴y=-x²+2x（0＜x＜4）．
③當P₁點與H點重合時，即x=4時，△P₁FG₁不存在．
綜上所述，y與x之間的函數關系式及自變量x的取值范圍是y=x²-2x（x＞4）或y=-x²+2x（0＜x＜4）．
點評：本題著重考查了二次函數解、圖形旋轉變換、三角形全等、探究垂直的構成情況等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．