Question

9．如果a是不為1的數(shù)，我們把$\frac{1}{1-a}$稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)為$\frac{1}{1-2}=-1$；-1的差倒數(shù)是$\frac{1}{{1-（{-1}）}}=\frac{1}{2}$；已知a₁=4，a₂是a₁的差倒數(shù)，a₃是a₂的差倒數(shù)，a₄是a₃差倒數(shù)，…，依此類推，則a₅=$-\frac{1}{3}$，a₂₀₁₆=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)新定義規(guī)則求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅找到存在的循環(huán)性規(guī)律，求解即可．

解答 解：a₁=4，a₂=$\frac{1}{1-4}$=$-\frac{1}{3}$，a₃=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{3}{4}$，a₄=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}$=4，a₅=$\frac{1}{1-4}$=$-\frac{1}{3}$；
可知：數(shù)列以“4，$-\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$”三個數(shù)循環(huán)出現(xiàn)，
2016÷3=672（整除），所以a₂₀₁₆=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$-\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$．

點評 此題主要考查新定義運算和數(shù)列的規(guī)律探索，準確應用新定義進行計算并找出存在的循環(huán)性規(guī)律是解題的關(guān)鍵．