Question

（2012•河池）如圖，在10×10的正方形網格中，△ABC的頂點和線段EF的端點都在邊長為1的小正方形的頂點上．
（1）填空：tanA=

1

2

，AC=

2

5

（結果保留根號）；
（2）請你在圖中找出一點D（僅一個點即可），連接DE、DF，使以D、E、F為頂點的三角形與△ABC全等，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）延長AB，過C作延長線的垂線CG，在直角三角形ACG中，由CG及AG的長，利用銳角三角函數定義求出tanA的值，利用勾股定理求出AC的值即可；
（2）圖中找出一點D，連接DE、DF，△ABC≌△EFD，如圖所示，理由為：在直角三角形FDM中，由FM與MD的長，利用勾股定理求出FD的長，同理求出BC的長，可得出FD=BC，同理可得出ED=AC，EF=AB，利用SSS可得出△ABC≌△EFD．

解答：解：（1）延長AB，過C作CG⊥AB，交延長線于點G，
在Rt△ACG中，CG=2，AG=4，
根據勾股定理得：AC=

AG2+GC2

=2

5

，
tanA=

CG

AG

=

1

2

；

（2）圖中找出一點D，連接DE、DF，△ABC≌△EFD，如右圖所示，
證明：在Rt△EMD中，EM=4，MD=2，
根據勾股定理得：ED=

42+22

=2

5

，
在Rt△FDM中，FM=2，MD=2，
根據勾股定理得：FD=

22+22

=2

2

，
同理在Rt△BCG中，根據勾股定理得：BC=2

2

，
在△ABC和△EFD中，
∵

AB=EF=2 FD=BC=2 2 ED=AC=2 5

，
∴△ABC≌△EFD（SSS）．
故答案為：（1）

1

2

；2

5

點評：此題考查了勾股定理，銳角三角函數定義，以及全等三角形的判定，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．