【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A.B兩點,過點A的直線l與拋物線交于點C,其中A點的坐標是(1,0),C點坐標是(4,3).
(1)求拋物線的解析式；
(2)在(1)中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△BCD的周長最小?若存在，求出點D的坐標，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）拋物線的解析式為
；（2）拋物線的對稱軸上存在點D（2，1），使△BCD的周長最小
【解析】
（1）將點A,C代入解析式中即可得到拋物線的解析式；
（2）因為BC的長度不變，要使周長最小，就是DB+DC最小，而A,B關于對稱軸對稱，所以AC就是DB+DC的最小值，此時D點就是AC與拋物線對稱軸的交點.先用待定系數法求出直線AC的解析式，再求出拋物線的對稱軸，即可求出交點.
（1）將
代入y=ax2+bx+3中得
解得
∴拋物線的解析式為
（2）設直線AC的解析式為
將代入得
解得
∴直線AC的解析式為
拋物線的對稱軸為
因為BC的長度不變，要使周長最小，就是DB+DC最小，而A,B關于對稱軸對稱，所以AC就是DB+DC的最小值，此時D點就是AC與拋物線對稱軸的交點.
當時，
∴點D的坐標為（2，1）
∴拋物線的對稱軸上存在點D（2，1），使△BCD的周長最小
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【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是x＝﹣1，且過點（
，0），有下列結論：①abc＞0；②a﹣2b+4c＝0；③25a+4c＝10b；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有錯誤的結論有（ ）個．
A.1B.2C.3D.4
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【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，拋物線
與
軸的兩個交點分別為
，
，與
軸相交于點
．
（1）求拋物線的表達式；
（2）聯結
、
，求
的正切值；
（3）點
在拋物線上，且
，求點的坐標．
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【題目】某商場以每件
元的價格購進一種商品，試銷中發現這種商品每天的銷售量
（件）與每件的銷售價
（元）滿足一次函數關系
.
（1）求商場銷售這種商品每天的銷售利潤
（元）與每件銷售價（元）之間的函數關系式.
（2）商場每天銷售這種商品的銷售利潤能否達到
元？如果能，求出此時的銷售價格；如果不能，說明理由.
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【題目】如圖，頂點坐標為（2，﹣1）的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A、B兩點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）設拋物線的對稱軸與直線BC交于點D，連接AC、AD，求△ACD的面積；
（3）點E為直線BC上一動點，過點E作y軸的平行線EF，與拋物線交于點F．問是否存在點E，使得以D、E、F為頂點的三角形與△BCO相似？若存在，求點E的坐標；若不存在，請說明理由．
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【題目】如圖在銳角三角形ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點G，AF⊥DE于點F，∠EAF=∠GAC．
（1）求證：△ADE∽△ABC；
（2）如AF=3，AG=5，求△ADE與△ABC的周長之比．
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【題目】如圖，在邊長為l的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，點P是邊AD上一點（與點A、D不重合），射線PE與BC的延長線交于點Q．
（1）求證：
；
（2）過點E作
交PB于點F，連結AF，當
時，①求證：四邊形AFEP是平行四邊形；
②請判斷四邊形AFEP是否為菱形，并說明理由．
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【題目】如圖，AB為半圓O的直徑，AC是⊙O的一條弦，D為
的中點，作DE⊥AC，交AB的延長線于點F，連接DA．
（1）求證：EF為半圓O的切線；
（2）若DA＝DF＝6
，求陰影區域的面積．（結果保留根號和π）
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【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O交于點D，點E在AC上，且∠ADE=∠B．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，CE=2，求△ABC的面積．
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