Question

在面積為24的△ABC中，矩形DEFG的邊DE在AB上運動，點F、G分別在BC、AC上．
（1）若AE=8，DE=2EF，求GF的長；
（2）若∠ACB=90°，如圖2，線段DM、EN分別為△ADG和△BEF的角平分線，求證：MG=NF；
（3）請直接寫出矩形DEFG的面積的最大值．

Answer 1

解：（1）∵△ABC的面積是2，若AB=8，
∴△ABC的高h=6．
設EF=x，則GF=DE=2x，
∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，
∴=，即=，
解得：x=2.4，
∴GF=4.8；

（2）過G作GP∥BC，過D作DP∥EN，GP、DP交于P點．在DM上截取DQ=DP，連接QG，則△GPD≌△FNE．
∴FN=GP，
∵∠GDQ=∠GDP=45°，
∴△GPD≌△GQD．
∴GQ=GP，∠GQD=∠GPD，
∵∠MGP=∠MDP=90°，
∴∠GMD+∠GPD=180°，
∵∠GQM+∠GQD=180°，
∴∠GMQ=∠GQM，
∴GM=GQ
∴MG=NF；

（3）作CM⊥AB于M，交GF于點N．
設BC=a，BC邊上的高是h，DG=y，則CM=h，CN=h-y，ah=48，設GF=x．
∵△CGF∽△CAB，
∴=，即=，則xh=ah-ay，
則y==．
則矩形DEFG的面積s=xy=•x，
即s=-x2+x．
當x=-=時，s有最大值．
最大值是：-（）²+•=-+=-+=12．
故矩形DEFG的面積的最大值是12．
分析：（1）根據三角形的面積公式即可求得△ABC的高，然后依據△CGF∽△CAB，相似三角形的對應邊上的高的比等于相似比即可求得；
（2）過G作GP∥BC，過D作DP∥EN，GP、DP交于P點．在DM上截取DQ=DP，連接QG，則△GPD≌△FNE，然后證明△GPD≌△GQD，根據等角對等邊證明GM=GQ，從而證得結論；
（3）作CM⊥AB于M，交GF于點N．設BC=a，BC邊上的高是h，DG=y，則CM=h，CN=h-y，ah=48，設GF=x，依據相似三角形的性質可以表示出矩形DEFG的面積，然后利用二次函數的性質即可求解．
點評：本題是相似三角形的性質，二次函數的性質以及全等三角形的判定的綜合應用，正確理解二次函數的性質是關鍵．