Question

（2009•寶山區二模）小杰和他的同學組成了“愛琢磨”學習小組，有一次，他們碰到這樣一道題：
“已知正方形ABCD，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，則EG=FH“
經過思考，大家給出了以下兩個方案：
（甲）過點A作AM∥HF交BC于點M，過點B作BN∥EG交CD于點N；
（乙）過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N；
小杰和他的同學順利的解決了該題后，大家琢磨著想改變問題的條件，作更多的探索．
…
（1）對小杰遇到的問題，請在甲、乙兩個方案中任選一個，加以證明（如圖1）；

（2）如果把條件中的“正方形”改為“長方形”，并設AB=2，BC=3（如圖2），試探究EG、FH之間有怎樣的數量關系，并證明你的結論；
（3）如果把條件中的“EG⊥FH”改為“EG與FH的夾角為45°”，并假設正方形ABCD的邊長為1，FH的長為（如圖3），試求EG的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）無論選甲還是選乙都是通過構建全等三角形來求解．甲中，通過證△AMB≌△BNC來得出所求的結論．乙中，通過證△AMB≌△ADN來得出結論；
（2）同（1）一樣，只不過將全等三角形該成了相似三角形，通過相似三角形得出的對應線段成比例來得出EG：FH=3：2；
（3）按（1）的思路也要通過構建全等三角形來求解，可過點A作AM∥HF交BC于點M，過點A作AN∥EG交CD于點N，將△AND繞點A旋轉到△APB，不難得出△APM和△ANM全等，那么可得出PM=MN，而MB的長可在直角三角形ABM中根據AB和AM（即HF的長）求出．如果設DN=x，那么NM=PM=BM+x，MC=BC-BM=1-BM，因此可在直角三角形MNC中用勾股定理求出DN的長，進而可在直角三角形AND中求出AN即EG的長．
解答：（1）證明：過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N
∴AM=HF，AN=EG
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=∠ADN=90°，
∵EG⊥FH
∴∠NAM=90°
∴∠BAM=∠DAN
在△ABM和△ADN中，∠BAM=∠DAN，AB=AD，∠ABM=∠ADN
∴△ABM≌△ADN，
∴AM=AN
即EG=FH；

（2）結論：EG：FH=3：2
證明：過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N
∴AM=HF，AN=EG，
∵長方形ABCD，
∴∠BAD=∠ADN=90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM=90°，
∴∠BAM=∠DAN，
∴△ABM∽△ADN，
∴，
∵AB=2BC=AD=3，
∴；

（3）解：過點A作AM∥HF交BC于點M，過點A作AN∥EG交CD于點N，
∵AB=1，AM=FH=
∴在Rt△ABM中，BM=
將△AND繞點A旋轉到△APB，
∵EG與FH的夾角為45°，
∴∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠MAB=45°，
即∠PAM=∠MAN=45°，
從而△APM≌△ANM，
∴PM=NM，
設DN=x，則NC=1-x，NM=PM=+x
在Rt△CMN中，（+x）²=+（1-x）²，
解得x=，
∴EG=AN==，
答：EG的長為．
點評：本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、圖形的旋轉變換等知識．通過輔助線或圖形的旋轉將所求的線段與已知的線段構建到一對全等或相似的三角形中是本題的基本思路．