Question

（2009•寶山區(qū)二模）在直角坐標系中，把點A（-1，a）（a為常數(shù)）向右平移4個單位得到A′，經(jīng)過點A、A′的拋物線y=ax²+bx+c與y軸的交點的縱坐標為2．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設該拋物線的頂點為點P，點B的坐標為（1，m），且m＜3，若△ABP是等腰三角形，求點B的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A，A′和（0，2）代入解析式用待定系數(shù)法求解；
（2）根據(jù)題意可設點B的坐標為（1，m），利用等腰三角形的兩邊相等作為等量關系列式子關于m的方程，要注意本題有三種情況，要分別列舉，當AP=PB時；當AP=AB時；當PB=AB時，分別計算不要漏解．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
點A（-1，a）（a為常數(shù)）向右平移4個單位得到點A'（3，a），（1分）
∵拋物線與y軸的交點的縱坐標為2，
∴c=2，（1分）
∵圖象經(jīng)過點A（-1，a），A'（3，a），
∴，（1分）
解得，（2分）
∴這條拋物線的解析式為y=-x²+2x+2；（1分）

（2）由y=-x²+2x+2=-（x-1）²+3
得P（1，3），，（1分）
∵△ABP是等腰三角形，點B的坐標為（1，m），且m＜3，
（Ⅰ）當AP=PB時，，
即，（1分）
∴；（1分）
（Ⅱ）當AP=AB時，（-1-1）²+（-1-3）²=（-1-1）²+（-1-m）²，
解得m=3，m=-5，（1分）m=3不合題意舍去，
∴m=-5；（1分）
（Ⅲ）當PB=AB時，（1-1）²+（3-m）²=（-1-1）²+（-1-m）²，
解得．（1分）
∴當或-5或時，△ABP是等腰三角形．B的坐標是（1，3-2）或（1，-5）或（1，）．
點評：本題考查圖形的平移變換和待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和利用等腰三角形的性質求點的坐標，此題是典型的數(shù)形結合綜合性習題．