Question

如圖，已知AE為⊙O的直徑，△ABC內接于⊙O，AD⊥BC于D交⊙O于F．
（1）求證：∠BAE=∠CAF；
（2）若∠ACB=60°，CF=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BE，由于BE是直徑，那么所對的圓周角等于90°，則∠BAE=90°-∠AEB，AD⊥BC，則∠ADC=90°，則有∠CAF=90°-∠ACB，又∠BEA=∠ACB，那么利用等角的余角相等，可得∠BAE=∠CAF；
（2）由∠ACB=60°，AD⊥BC，可求∠CAF=30°，再結合（1）中的結論，可知∠BAE=30°，而CF=2，那么利用同圓中相等的圓周角所對的弦相等，可知BE=CF=2，在Rt△ABE中，利用三角函數值可求AE，即可求⊙O半徑．
解答：解：（1）證明：連接BE，
∵AE是直徑，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAF+∠ACB=90°，
又∵∠AEB=∠ACB，
∴∠BAE=∠CAF；

（2）∵∠BAE=∠CAF，CF=2，
∴BE=2，
又∵∠ACB=60°，AD⊥BC，
∴∠CAF=30°，
∴∠BAE=30°，
∴AE=2BE=4，
∴⊙O半徑=2．
點評：本題利用了直徑所對的圓周角等于90°、同圓中同弧所對的圓周角相等、等角的余角相等、同圓中相等的圓周角所對的弦相等、三角函數值．