Question

已知：如圖，O為平面直角坐標系的原點，半徑為1的⊙B經過點O，且與x，y軸分交于點A，C，點A的坐標為，AC的延長線與⊙B的切線OD交于點D．
（1）求OC的長和∠CAO的度數；
（2）求過D點的反比例函數的表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據條件知道AC是圓的直徑，所以長度為2，因為C的坐標已知，所以能求出OC的長度，根據勾股定理求出AO的長度，所以可求出角的度數．
（2）連接OB，過點D作DE⊥x軸于點E，根據題目所給的條件，求出D點的坐標，進而求出反比例函數的解析式．
解答：解：（1）∵⊙B經過原點O，∠AOC=90°，
∴AC是⊙B的直徑，
∴AC=2．（1分）
又∵點A的坐標為（.0），
∴OA=．OC=．（2分）
∴sin∠CAO=．
∴∠CAO=30°．（3分）

（2）連接OB，過點D作DE⊥x軸于點E．（4分）
∵OD為⊙B的切線，
∴OB⊥OD．∴∠BOD=90°
∴∠AOB=∠OAB=30°．
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+90°=120°
在△AOD中，∠ODA=180°-120°-30°=30°=∠OAD
∴OD=OA=．（6分）
在Rt△DOE中，∠DOE=180°-120°=60°，
∴OE=OD•cos60°=．ED=OD•sin60°=，（7分）
∵點D在第二象限，
∴點D的坐標為．（8分）
設過點D的反比例函數表達式為，則
∴（10分）
點評：本題考查反比例函數的綜合運用，本題考查了勾股定理的運用，以及三角函數的運用，反比例函數的確定等知識點．