Question

（1）對于正數x，規定f（x）=

x

1+x

，例如f（3）=

3

1+3

=

3

4

，f（

1

3

）=

1 3

1+ 1 3

=

1

4

計算：f（

1

2009

)+f（

1

2008

）+f（

1

2007

）+…+f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）+f（2008）+f（2009）
（2）已知：如圖，O為平面直角坐標系的原點，半徑為1的⊙B經過點O，且與x，y軸分交于點A，C，點A的坐標為(-

3

，0)，AC的延長線與⊙B的切線OD交于點D．求∠CAO的度數．

Answer 1

分析：（1）可以發現f(n)+f(

1

n

)=1，故原式可化為：

1

2

+1+1+1+…+1+1+1，共有2008個1，故可得到結果．
（2）由AC為直徑，可知AC=2，有OA=

3

，則在Rt△ABC中，由勾股定理求得OC的值，再由正弦的概念求得∠CAO的度數．

解答：解：
（1）∵f(1)=

1

1+1

=

1

2

，f(2)=

2

1+2

=

2

3

，f(

1

2

)=

1 2

1+ 1 2

=

1

3

，f(3)=

3

4

，f(

1

3

)=

1

4

；
∴f(1)=

1

2

；f(2)+f(

1

2

)=1；f(3)+f(

1

3

)=1；f(n)+f(

1

n

)=1
原式=f(1)+f(2)+f(

1

2

)+f(3)+f(

1

3

)+f(2008)+f(

1

2008

)+f(2009)+f(

1

2009

)
=

1

2

+1+1+1+…+1+1+1
=2008

1

2

；

（2）

∵∠AOC=90°，
∴AC是⊙B的直徑，
∴AC=2
又∵點A的坐標為(-

3

，0)，
∴OA=

3

，
∴OC=

AC2-OA2

=

22-( 3 )2

=1
∴sin∠CAO=

OC

AC

=

1

2

，
∴∠CAO=30°．

點評：本題的第（1）小題，找到f(n)+f(

1

n

)=1是解題的關鍵，第（2）小題主要是解直角三角形．