Question

已知：如圖，O為平面直角坐標系的原點，半徑為1的⊙B經過點O，且與x，y軸分交于點A，C，點A的坐標為（-

3

，0），AC的延長線與⊙B的切線OD交于點D．
（1）求OC的長和∠CAO的度數；
（2）求過D點的反比例函數的表達式．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形ACO中，根據已知條件可以求得OA，AC的長，再根據勾股定理求得OC的長，根據銳角三角函數的概念求得∠CAO的度數；
（2）要求反比例函數的表達式，需要求得點D的坐標．作DE⊥x軸于點E，根據對頂角相等和弦切角定理可以求得∠DOE=60°．所以只需再求得OD的長，根據三角形的外角的性質可以求得∠ADO=30°．則OD=OA．從而求得OE，DE的長，再根據點D的坐標求得反比例函數的表達式．

解答：解：（1）∵∠AOC=90°，
∴AC是⊙B的直徑．
∴AC=2．
又∵點A的坐標為（-

3

，0），
∴OA=

3

．
∴OC=

AC2-OA2

=

22-( 3 )2

=1．
∴sin∠CAO=

OC

AC

=

1

2

．
∴∠CAO=30°；

（2）如圖，連接OB，過點D作DE⊥x軸于點E，
∵OD為⊙B的切線，
∴OB⊥OD．
∴∠BOD=90°．
∵AB=OB，
∴∠AOB=∠OAB=30°．
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+90°=120°．
在△AOD中，∠ODA=180°-120°-30°=30°=∠OAD．
∴OD=OA=

3

．
在Rt△DOE中，∠DOE=180°-120°=60°，
∴OE=OD•cos60°=

1

2

OD=

3

2

，ED=OD•sin60°=

3

2

．
∴點D的坐標為(

3

2

，

3

2

)．
設過D點的反比例函數的表達式為y=

k

x

，
∴k=

3

2

×

3

2

=

3 3

4

．
∴y=

3 3

4x

．

點評：此題主要是運用了30度的直角三角形的性質、切線的性質和等腰三角形的判定和性質，綜合性較強，同學們要重點掌握．