Question

如圖，⊙O為四邊形ABCD的外接圓，圓心O在AD上，OC∥AB．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若AC=8，AD：BC=5：3，試求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平行線的性質得到內錯角相等，再根據同圓的半徑相等得到∠OAC=∠OCA，運用等量代換的方法即可證明；
（2）根據（1）中的圓周角相等即可得到它們所對的弧相等，則等弧對等弦，即BC=CD．再根據勾股定理即可求解．
解答：（1）證明：∵OC∥AB
∴∠OCA=∠BAC
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∴∠OAC=∠BAC
即AC平分∠DAB；

（2）解：∵AC平分∠DAB，
∴弧CD=弧BC
∴CD=BC
又AD：BC=5：3
∴AD：CD=5：3
∵AD是圓的直徑，∴∠ACD=90°
根據勾股定理，得AD：CD：AC=5：3：4
所以AD=10，即圓的半徑是5．
點評：此題綜合運用了平行線的性質、等邊對等角、圓周角定理的推論、等弧對等弦、以及勾股定理．