Question

如圖，⊙O為四邊形ABCD的外接圓，圓心O在AD上，OC∥AB．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若AC=8，

AC

：

CD

=2：1，試求⊙O的半徑；
（3）若點B為

AC

的中點，試判斷四邊形ABCO的形狀．

Answer 1

分析：（1）根據OC∥AB，可以得到∠OCA=∠CAB，在△OAC中，根據等角對等邊，即可證明∠OAC=∠OCA，即可證得AC平分∠DAB；
（2）根據

AC

：

CD

=2：1，即可求得∠CAD的度數，在直角△ACD中，利用三角函數即可求得直徑AD，進而求得半徑；
（3）首先證明四邊形是平行四邊形，根據鄰邊相等，即可證得四邊形是菱形．

解答：（1）證明：∵OC∥AB，
∴∠BAC=∠ACO，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO．
∴∠CAO=∠BAC．
即：AC平分∠DAB．（2分）

（2）解：AC=8，弧AC與CD之比為2：1，
∴∠DAC=30°，
又∵AD是圓的直徑，
∴∠ACD=90°
∴CD=AC•tan∠DAC=

8 3

3

，
∵∠COD=2∠DAC=60°，OD=OC，
∴△COD是等邊三角形．
∴圓O的半徑=CD=

8 3

3

（2分）

（3）解：∵點B為弧AC的中點，
∴

AB

=

BC

，
∴∠BAC=∠BCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC=∠BAC，
∴∠BAC=∠BCA=∠OAC=∠OCA．
∴OA∥BC．又OC∥AB，
∴四邊形ABCO是平行四邊形．
∵AO=CO，
∴四邊形ABCO為菱形．（3分）

點評：本題主要考查了圓的有關計算，根據弧的關系可以得到圓周角之間的關系，并且考查了菱形的判定定理．