Question

如圖，AB經(jīng)過⊙O的圓心，弦DF⊥AB于E，BF切⊙O于F，⊙O的半徑為2．
（1）求證：BD與⊙O相切；
（2）若∠ABD=∠DFC，求DF的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD，OF．
∵BF切⊙O于點F，
∴∠OFB=90°，
∵弦DF⊥AB于E，且AB經(jīng)過圓心O，
∴DE=EF，
∴BD=BF．
∴∠1=∠BFD．
∵OD=OF，
∴∠3=∠4，
∴∠ODB=∠OFB=90°，
∴BD與⊙O相切；

（2）由（1）可知∠3=∠5，
∵∠2=∠5，
∴∠2=∠3．
又∵∠6=2∠2，
∴∠6=2∠3．
∵∠6+∠3=90°，
∴3∠3=90°．
∴∠3=30°，
∵OD=2，
∴DE=

3

，
∴DF=2

3

．