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(2007•海淀區二模)如圖,AB經過⊙O的圓心,弦DF⊥AB于E,BF切⊙O于F,⊙O的半徑為2.
(1)求證:BD與⊙O相切;
(2)若∠ABD=∠DFC,求DF的長.
分析:(1)連接OD,OF,根據BF切⊙O于點F,得出∠OFB=90°,再根據弦DF⊥AB于E,且AB經過圓心O,得出∠1=∠BFD,最后根據OD=OF,∠3=∠4,得出∠ODB=∠OFB=90°即可;
(2)根據(1)得∠3=∠5,根據∠2=∠5,得出∠2=∠3,再根據∠6=2∠2,得出∠6=2∠3,再根據∠6+∠3=90°,求出∠3的度數,最后根據⊙O的半徑為2,即可求出DF的長.
解答:(1)證明:連接OD,OF.
∵BF切⊙O于點F,
∴∠OFB=90°,
∵弦DF⊥AB于E,且AB經過圓心O,
∴DE=EF,
∴BD=BF.
∴∠1=∠BFD.
∵OD=OF,
∴∠3=∠4,
∴∠ODB=∠OFB=90°,
∴BD與⊙O相切;

(2)解:由(1)可知∠3=∠5,
∵∠2=∠5,
∴∠2=∠3.
又∵∠6=2∠2,
∴∠6=2∠3.
∵∠6+∠3=90°,
∴3∠3=90°.
∴∠3=30°,
∵OD=2,
∴DE=
3

∴DF=2
3
點評:此題考查了切線的判定與性質,用到的知識點是垂徑定理,圓心角與圓周角之間的關系,圓的有關性質等,解題的關鍵是證出∠ODB=∠OFB=90°,難度適中.
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2
2

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