Question

如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線經過點A（-1，0），C（0，5）兩點，與x軸另一交點為B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），點P是第一象限內的拋物線上的動點．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）當a=1時，求四邊形MEFP面積的最大值，并求此時點P的坐標；

（3）若△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，求a為何值時，四邊形PMEF周長最��？請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）y=－x2+4x+5；（2）當時，四邊形MEFP面積的最大，最大值為，此時點P坐標為；（3）當時，四邊形FMEF周長最小.

【解析】

試題分析：（1）設頂點式，利用待定系數法求出拋物線的解析式.

（2）求出四邊形MEFP面積的表達式，利用二次函數的性質求出最值及點P坐標.

（3）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．如答圖2所示，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M1（1，1）；作點M1關于x軸的對稱點M2，則M2（1，﹣1）；連接PM2，與x軸交于F點，此時ME+PF=PM2最�。�

試題解析：【解析】
（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=2，∴設拋物線為.

∵拋物線過點A(－1，0)、C(0，5)，

∴，解得：.

∴二次函數的函數關系式為，即y=－x2+4x+5.

（2）當a=1時，E（1，0），F（2，0），

設P的坐標為(x，－x2+4x+5)

如答圖1，過點P作y軸的垂線，垂足為G，

則四邊形MEFP面積

=

===，

∴當時，四邊形MEFP面積的最大，最大值為，此時點P坐標為.

（3）如答圖2，把點M向右平移1個單位得點M1，再做點M1關于x軸的對稱點M2,在四邊形FMEF中，因為邊PM，EF為固定值，所以要使四邊形FMEF周長最小，則ME+PF最小，因為ME=M1F=M2F，所以只要使M2F+PF最小即可，所以點F應該是直線M2P與x軸的交點，由OM=1，OC=5，得點P的縱坐標為3，根據y=－x2+4x+5可求得點P（）

又點M2坐標為（1，－1），∴直線M2P的解析式為.

當y=0時，求得，∴F（，0）.∴.

∴當時，四邊形FMEF周長最小.

考點：1. 二次函數綜合題；2.單動點問題；3.待定系數法的應用；4.曲線上點的坐標與方程的關系；5.二次函數的性質；6.由實際問題列函數關系式；7.等腰三角形的性質；8.軸對稱的應用（最短線路問題）.