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如圖,在正方ABCD中,E是AB邊上任一點,BG⊥CE,垂足為O,交AC于點F,交AD于點G.
(1)證明:BE=AG;
(2)E位于什么位置時,∠AEF=∠CEB?說明理由.

【答案】分析:(1)要證明AG=BE,只要證明三角形ABG和EBC全等即可.兩三角形中已知的條件有一組直角,AB=BC,只要再得出一組對應角相等即可.我們發現∠1和∠2都是∠3的余角因此∠1=∠2,這樣就構成了兩三角形全等的條件ASA,因此兩三角形全等.
(2)要求E位于什么位置時,∠AEF=∠CEB,我們先看若兩角相等能得出什么.若∠AEF=∠CEB,由(1)中的全等三角形我們可得出∠AGF=∠CEB,因此∠AEF=∠AGF,三角形GFA和AEF中,有一條公共邊,∠DAC=∠CAB=45°,因此兩三角形全等,那么AG=AE,由(1)知AG=BE,因此AE=BE,那么只有AE=BE時,∠AEF=∠CEB.
解答:(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,
∴∠1+∠3=90°.
∵BG⊥CE,
∴∠BOC=90°.
∴∠2+∠3=90°.
∴∠1=∠2.
在△GAB和△EBC中,
∵∠GAB=∠EBC=90°,AB=BC,∠1=∠2,
∴△GAB≌△EBC(ASA).
∴AG=BE.

(2)解:當點E位于線段AB中點時,∠AEF=∠CEB.理由如下:
當點E位于線段AB中點時,AE=BE;
由(1)知,AG=BE,
∴AG=AE;
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠GAF=∠EAF=45°;
又∵AF=AF,
∴△GAF≌△EAF(SAS);
∴∠AGF=∠AEF;
由(1)知,△GAB≌△EBC;
∴∠AGF=∠CEB;
∴∠AEF=∠CEB.
點評:本題考查了全等三角形的判定,正方形的性質等知識點,利用全等三角形來得出線段相等是這類題的常用方法.
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