Question

如圖，在正方ABCD中，E是AB邊上任一點，BG⊥CE，垂足為O，交AC于點F，交AD于點G．
（1）證明：BE=AG；
（2）E位于什么位置時，∠AEF=∠CEB？說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，


∴∠1+∠3=90°．
∵BG⊥CE，
∴∠BOC=90°．
∴∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠2．
在△GAB和△EBC中，
∵∠GAB=∠EBC=90°，AB=BC，∠1=∠2，
∴△GAB≌△EBC（ASA）．
∴AG=BE．

（2）當點E位于線段AB中點時，∠AEF=∠CEB．理由如下：
當點E位于線段AB中點時，AE=BE；
由（1）知，AG=BE，
∴AG=AE；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠GAF=∠EAF=45°；
又∵AF=AF，
∴△GAF≌△EAF（SAS）；
∴∠AGF=∠AEF；
由（1）知，△GAB≌△EBC；
∴∠AGF=∠CEB；
∴∠AEF=∠CEB．