Question

如圖，在正方ABCD中，E是AB邊上任一點，BG⊥CE，垂足為O，交AC于點F，交AD于點G．
（1）證明：BE=AG；
（2）E位于什么位置時，∠AEF=∠CEB？說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∵BG⊥CE，
∴∠BOC=90°．
∴∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠2．
在△GAB和△EBC中，
∵∠GAB=∠EBC=90°，AB=BC，∠1=∠2，
∴△GAB≌△EBC（ASA）．
∴AG=BE．

（2）解：當點E位于線段AB中點時，∠AEF=∠CEB．理由如下：
當點E位于線段AB中點時，AE=BE；
由（1）知，AG=BE，
∴AG=AE；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠GAF=∠EAF=45°；
又∵AF=AF，
∴△GAF≌△EAF（SAS）；
∴∠AGF=∠AEF；
由（1）知，△GAB≌△EBC；
∴∠AGF=∠CEB；
∴∠AEF=∠CEB．
分析：（1）要證明AG=BE，只要證明三角形ABG和EBC全等即可．兩三角形中已知的條件有一組直角，AB=BC，只要再得出一組對應角相等即可．我們發現∠1和∠2都是∠3的余角因此∠1=∠2，這樣就構成了兩三角形全等的條件ASA，因此兩三角形全等．
（2）要求E位于什么位置時，∠AEF=∠CEB，我們先看若兩角相等能得出什么．若∠AEF=∠CEB，由（1）中的全等三角形我們可得出∠AGF=∠CEB，因此∠AEF=∠AGF，三角形GFA和AEF中，有一條公共邊，∠DAC=∠CAB=45°，因此兩三角形全等，那么AG=AE，由（1）知AG=BE，因此AE=BE，那么只有AE=BE時，∠AEF=∠CEB．
點評：本題考查了全等三角形的判定，正方形的性質等知識點，利用全等三角形來得出線段相等是這類題的常用方法．