Question

（2006•永州）如圖⊙O的內接△ABC中，外角∠ACF的角平分線與⊙O相交于D點，DP⊥AC，垂足為P，DH⊥BF，垂足為H．問：
（1）∠PDC與∠HDC是否相等，為什么？
（2）圖中有哪幾組相等的線段？
（3）當△ABC滿足什么條件時，△CPD∽△CBA，為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據角平分線與垂線的性質證明角相等；
（2）發現全等三角形，根據全等三角形的對應邊相等證明出線段相等；
（3）根據其中一個是直角三角形得到AC必須是直徑．再根據另一對角對應相等，結合利用平角發現必須都是60°才可．
解答：解：（1）答：相等．理由如下：
∵CD為∠ACF的角平分線（已知），
∴∠DCP=∠DCH，DP⊥AC，DH⊥BF．
∴∠DPC=∠DHC=90°．
∴∠PDC=∠HDC．

（2）PC=HC，DP=DH，AP=BH，AD=BD．

（3）∠ABC=90°且∠ACB=60°時，△CPD∽△CBA．
∵∠CPD=90°，
∴∠ABC=90°．
∵CD為∠ACF的角平分線，∠PCD=∠DCF=∠ACB，
∴∠ACB=60°．
∴∠ABC=90°且∠ACB=60°時，△CPD∽△CBA．
點評：掌握全等三角形的判定和性質，能夠根據已知的三角形的形狀探索若相似應滿足的條件．