Question

19．如圖，在等邊△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，點P從點E出發沿EA方向運動，連接PD，以PD為邊，在PD右側按如圖方式作等邊△DPF．
（1）連接DE，作FH⊥BC于點H，求證：△DPE≌△FDH；
（2）當點P從點E運動到點A時，求點F運動的路徑．

Answer 1

分析 （1）如圖，根據等邊三角形的性質得∠B=60°，過D點作DE′⊥AB，則BE′=$\frac{1}{2}$BD=2，則點E′與點E重合，所以∠BDE=30°，DE=$\sqrt{3}$BE=2$\sqrt{3}$，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；
（2）根據全等三角形的性質得到FH=DE=2$\sqrt{3}$，于是可判斷點F運動的路徑為一條線段，此線段到BC的距離為2$\sqrt{3}$，當點P在E點時，作等邊三角形DEF₁，則DF₁⊥BC，當點P在A點時，作等邊三角形DAF₂，作F₂Q⊥BC于Q，則△DF₂Q≌△ADE，所以DQ=AE=8，所以F₁F₂=DQ=8，于是得到當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長為8．

解答 解：如圖，∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
過D點作DE′⊥AB，則BE′=$\frac{1}{2}$BD=2，
∴點E′與點E重合，
∴∠BDE=30°，DE=$\sqrt{3}$BE=2$\sqrt{3}$，
∵△DPF為等邊三角形，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠EDP+∠HDF=90°
∵∠HDF+∠DFH=90°，
∴∠EDP=∠DFH，
在△DPE和△FDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PED=∠DHF}\\{∠EDP=∠DFH}\\{DP=FD}\end{array}\right.$，
∴△DPE≌△FDH，
（2）∵△DPE≌△FDH，
∴FH=DE=2$\sqrt{3}$，
∴點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑為一條線段，此線段到BC的距離為2$\sqrt{3}$，
當點P在E點時，作等邊三角形DEF₁，∠BDF1=30°+60°=90°，則DF₁⊥BC，
當點P在A點時，作等邊三角形DAF₂，作F₂Q⊥BC于Q，則△DF₂Q≌△ADE，所以DQ=AE=10-2=8，
∴F₁F₂=DQ=8，
∴當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長為8．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，軌跡：點運動的路徑叫點運動的軌跡，利用代數或幾何方法確定點運動的規律．也考查了等邊三角形的性質和三角形全等的判定與性質．