Question

【題目】正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)O是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與B，C不重合），以O為頂點(diǎn)在BC所在直線的上方作∠MON=90°

（1）當(dāng)OM經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，

①請(qǐng)直接填空：ON______（可能，不可能）過D點(diǎn)：（圖1僅供分析）

②如圖2，在ON上截取OE=OA，過E點(diǎn)作EF垂直于直線BC，垂足為點(diǎn)F，作EH⊥CD于H，求證：四邊形EFCH為正方形；

③如圖2，將②中的已知與結(jié)論互換，即在ON上取點(diǎn)E（E點(diǎn)在正方形ABCD外部），過E點(diǎn)作EF垂直于直線BC，垂足為點(diǎn)F，作EH⊥CD于H，若四邊形EFCH為正方形，那么OE與OA是否相等？請(qǐng)說明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn)O在射線BC上且OM不過點(diǎn)A時(shí)，設(shè)OM交邊AB于G，且OG=2．在ON上存在點(diǎn)P，過P點(diǎn)作PK垂直于直線BC，垂足為點(diǎn)K，使得S△PKO=S△OBG，連接GP，則當(dāng)BO為何值時(shí)，四邊形PKBG的面積最大？最大面積為多少？

Answer 1

【答案】（1）①不可能②見解析③OA=OE（2）當(dāng)BO為時(shí)，四邊形PKBG的面積最大，最大面積為

【解析】

（1）①若ON過點(diǎn)D時(shí)，則在△OAD中不滿足勾股定理，可知不可能過D點(diǎn)；

②由條件可先判業(yè)四邊形EFCH為矩形，再證明△OFE≌△ABO，可證得結(jié)論；

③結(jié)論：OA=OE．如圖2-1中，連接EC，在BA上取一點(diǎn)Q，使得BQ=BO，連接OQ．證明△AQO≌△OCE（ASA）即可．

（2）由條件可證明△PKO∽△OBG，利用相似三角形的性質(zhì)可求得OP=2，可求得△POG面積為定值及△PKO和△OBG的關(guān)系，只要△CGB的面積有最大值時(shí)，則四邊形PKBG的面積就最大，設(shè)OB=a，BG=b，由勾股定理可用b表示出a，則可用a表示出△OBG的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，則可求得四邊形PKBG面積的最大值．

（1）①若ON過點(diǎn)D，則OA＞AB，OD＞CD，

∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，

∴OA2+OD2＞2AD2≠AD2，

∴∠AOD≠90°，這與∠MON=90°矛盾，

∴ON不可能過D點(diǎn)，

故答案為：不可能；

②如圖2中，∵EH⊥CD，EF⊥BC，

∴∠EHC=∠EFC=90°，且∠HCF=90°，

∴四邊形EFCH為矩形，

∵∠MON=90°，

∴∠EOF=90°-∠AOB，

在正方形ABCD中，∠BAO=90°-∠AOB，

∴∠EOF=∠BAO，

在△OFE和△ABO中，

∴△OFE≌△ABO（AAS），

∴EF=OB，OF=AB，

又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC，

∴CF=EF，

∴四邊形EFCH為正方形；

③結(jié)論：OA=OE．

理由：如圖2-1中，連接EC，在BA上取一點(diǎn)Q，使得BQ=BO，連接OQ．

∵AB=BC，BQ=BO，

∴AQ=QC，

∵∠QAO=∠EOC，∠AQO=∠ECO=135°，

∴△AQO≌△OCE（ASA），

∴AO=OE．

（2）

∵∠POK=∠OGB，∠PKO=∠OBG，

∴△PKO∽△OBG，

∵S△PKO=S△OBG，

∴

∴OP=1，

∴S△POG=OGOP=×1×2=1，

設(shè)OB=a，BG=b，則a2+b2=OG2=4，

∴b=

∴

∴當(dāng)a2=2時(shí)，△OBG有最大值1，此時(shí)S△PKO=S△OBG=，

∴四邊形PKBG的最大面積為1+1+= ．

∴當(dāng)BO為時(shí)，四邊形PKBG的面積最大，最大面積為．