Question

【題目】如圖，AB為直徑，C、D是上點，連結CB并延長與AD所在直線交于點F，，垂足為點E，連結CE，且．

（1）證明：CE與相切；

（2）若，，求AD的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OC，根據等腰三角形的性質，對頂角的性質以及垂直的定義可得出∠BCE+∠ABC=90°，再根據∠OCB=∠OBC，得出∠OCB+∠BCE=90°，從而可得出結果；

（2）設的半徑為r，則OA=OB=OC=r，則BE=8-2r，OE=8-r，根據=tan∠BFE，可得出EF=2BE=CE，在Rt△OCE中，利用勾股定理列方程可求出r的值．連接BD，又∠ACF=∠AEF=90°，則點A，C，E，F都在以AF為圓心的圓上，從而得出∠FAE=∠FCE，則tan∠BAD=，結合勾股定理可求出AD的長．

（1）證明：連接OC，

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠OBC=∠EBF，

又EF⊥AB，

∴∠EFB+∠EBF=90°，

∴∠OCB+∠EFB=90°，

∵CE=EF，∴∠ECB=∠EFB，

∴∠OCB+∠ECB=90°，

∴∠OCE=90°，

∴CE與相切；

（2）解：連接BD，

設的半徑為r，則OA=OB=OC=r，

∴BE=AE-AB=8-2r，OE=AE-OA=8-r，

又=tan∠BFE，

∴在Rt△BEF中，，

∴EF=2BE=16-4r=CE，

在Rt△OCE中，OC2+CE2=OE2，

∴r2+(16-4r)2=(8-r)2，

解得r=3或r=4，

當r=4時，16-4r=0，不符合題意，

∴r=3，

∴AB=6．

∵AB是的直徑，

∴∠ACF=∠AEF=90°，則點A，C，E，F都在以AF為直徑的圓上，

∴∠FAE=∠FCE，

又，∴tan∠FAE=，即tan∠DAB=，

∵AB是的直徑，∴∠ADB=90°，

∴，

在Rt△ABD中，

AD2+BD2=AB2，

∴AD2+=36，

∴AD=．