Question

已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC的中點，
（1）如圖，E，F分別是AB，AC上的點，且BE=AF，求證：△DEF為等腰直角三角形；
（2）若E，F分別為AB，CA延長線上的點，仍有BE=AF，其他條件不變，那么，△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）先連接AD，構造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底邊上的中線，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可證出：△BED≌△AFD，從而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，從而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；
（2）還是證明：△BED≌△AFD，主要證∠DAF=∠DBE（∠DBE=180°-45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°），再結合兩組對邊對應相等，所以兩個三角形全等．
解答：（1）證明：連接AD（5分）
∵AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點，
∴AD⊥BC，BD=AD．（1分）
∴∠B=∠DAC=45°（5分）
又BE=AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS）．（2分）
∴ED=FD，∠BDE=∠ADF．（5分）
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．
∴△DEF為等腰直角三角形．（3分）

（2）解：△DEF為等腰直角三角形．
證明：若E，F分別是AB，CA延長線上的點，如圖所示：
連接AD，（4分）
∵AB=AC，
∴△ABC等腰三角形，
∵∠BAC=90°，D為BC的中點，
∴AD=BD，AD⊥BC（三線合一），
∴∠DAC=∠ABD=45°．
∴∠DAF=∠DBE=135°．（5分）
又AF=BE，
∴△DAF≌△DBE（SAS）．（6分）
∴FD=ED，∠FDA=∠EDB．（5分）
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．
∴△DEF仍為等腰直角三角形．（7分）
點評：本題利用了等腰直角三角形底邊上的中線平分頂角，并且等于底邊的一半，還利用了全等三角形的判定和性質，及等腰直角三角形的判定．