Question

（13分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，

 

（1）圖中共有 對相似三角形，寫出來分別為 （不需證明）；

（2）已知AB=10，AC=8，請你求出CD的長；

（3）在（2）的情況下，如果以AB為x軸，CD為y軸，點D為坐標原點O，建立直角坐標系（如下圖），若點P從C點出發，以每秒1個單位的速度沿線段CB運動，點Q出B點出發，以每秒1個單位的速度沿線段BA運動，其中一點最先到達線段的端點時，兩點即刻同時停止運動；設運動時間為秒是否存在點P，使以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）3對，分別是：△ABC∽△ACD， △ABC∽△CBD ， △ACD∽△CBD；（2）4.8；（3）存在，（1.35，3）或（3.15，1.8）．

【解析】

試題分析：（1）根據兩角對應相等的兩三角形相似即可得到3對相似三角形，分別為：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；

（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的長，再根據△ABC的面積不變得到AB•CD=AC•BC，即可求出CD的長；

（3）由于∠B公共，所以以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似時，分兩種情況進行討論：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．

試題解析：（1）圖1中共有3對相似三角形，分別為：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD．

故答案為3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；

（2）如圖1，在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，∴BC==6．

∵△ABC的面積=AB•CD=AC•BC，∴CD==4.8；

（3）存在點P，使以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB=90°，BC=6，OC=4.8，∴OB==3.6．

分兩種情況：①當∠BQP=90°時，如圖2①，此時△PQB∽△ACB，

∴，∴，解得t=2.25，即BQ=CP=2.25，

∴OQ=OB﹣BQ=3.6﹣2.25=1.35，BP=BC﹣CP=6﹣2.25=3.75．

在△BPQ中，由勾股定理，得PQ==，∴點P的坐標為（1.35，3）；

②當∠BPQ=90°時，如圖2②，此時△QPB∽△ACB，∴，∴，

解得t=3.75，即BQ=CP=3.75，BP=BC﹣CP=6﹣3.75=2.25．

過點P作PE⊥x軸于點E．

∵△QPB∽△ACB，∴，∴，∴PE=1.8．

在△BPE中，BE==，∴OE=OB﹣BE=3.6﹣0.45=3.15，

∴點P的坐標為（3.15，1.8）；

綜上可得，點P的坐標為（1.35，3）或（3.15，1.8）．

考點：1．相似三角形的判定與性質；2．勾股定理．