Question

如圖，△ABC內接于⊙O，且AB=AC，點D在⊙O上，AD⊥AB于點A，AD與BC交于點E，F在DA的延長線上，且AF=AE．
（1）試判斷BF與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若BF=5，，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB、OA或連接BD，由AB=AC，則∠ABC=∠C，由AF=AE，則∠EBA=∠FBA，從而得出∠ABD+∠FBA=90°，即OB⊥BF，
則BF是⊙O切線；
（2）由（1）得∠C=∠D，再由，得=，則=，從而求出BD．
解答：證明：（1）BF與⊙O相切，連接OB、OA，連接BD（1分），
∵AD⊥AB，∴∠BAD=90°，
∴BD是直徑，∴BD過圓心
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D，
∵AD⊥AB，
∴∠ABD+∠D=90°，
∵AF=AE，
∴∠EBA=∠FBA，
∴∠ABD+∠FBA=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O切線（4分）；

（2）∵∠C=∠D，，
∴cos∠D=，
∵BF=5，
∴=，
∴=，
∴BD=×5=，
∴直徑為（8分）．
點評：本題考查了切線的判定和解直角三角形，是基礎知識要熟練掌握．