Question

11．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點E、F分別在邊AB、ABC上，且AE=BF=1，CE、DF相交于點O，下列結論：
①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD=$\frac{4}{3}$，④△COD的面積等于四邊形BEOF的面積，正確的有 （　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①正確．由△EBC≌△FCD（SAS），推出∠CFD=∠BEC，推出∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，推出∠DOC=90°．
②錯誤．用反證法證明．
③正確．易證得∠OCD=∠DFC，由此tan∠OCD=tan∠DFC=$\frac{DC}{FC}$=$\frac{4}{3}$．
④正確．由△EBC≌△FCD，推出S_△EBC=S_△FCD，推出S_△EBC-S_△FOC=S_△FCD-S_△FOC，即S_△ODC=S_{四邊形BEOF}．

解答 解：∵正方形ABCD的邊長為4，
∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°，
∵AE=BF=1，
∴BE=CF=4-1=3，
在△EBC和△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠B=∠DCF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△FCD（SAS），
∴∠CFD=∠BEC，
∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，
∴∠DOC=90°，故①正確；
連接DE，如圖所示：
若OC=OE，
∵DF⊥EC，
∴CD=DE，
∵CD=AD＜DE（矛盾），故②錯誤；
∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠OCD=∠DFC，
∴tan∠OCD=tan∠DFC=$\frac{DC}{FC}$=$\frac{4}{3}$，故③正確；
∵△EBC≌△FCD，
∴S_△EBC=S_△FCD，
∴S_△EBC-S_△FOC=S_△FCD-S_△FOC，
即S_△ODC=S_{四邊形BEOF}，故④正確；
故選C．

點評 此題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質以及三角函數等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會用反證法的方法證明②錯誤，屬于中考常考題型．