Question

如圖1，直線y=-x+與兩坐標軸交于A、B，以點M（1，0）為圓心，MO為半徑作小⊙M，又以點M為圓心、MA為半徑作大⊙M交坐標軸于C、D．
（1）求證：直線AB是小⊙M的切線．
（2）連接BM，若小⊙M以2單位/秒的速度沿x軸向右平移，大⊙M以1單位/秒的速度沿射線BM方向平移，問：經過多少秒后，兩圓相切？
（3）如圖2，作直線BE∥x軸交大⊙M于E，過點B作直線PQ，連接PE、PM，使∠EPB=120°，請你探究線段PB、PE、PM三者之間的數量關系．

Answer 1

【答案】分析：（1）過M作MF⊥AB于F，證△MFA∽△BOA，推出=，代入求出MF，即可得出直線AB是小⊙M的切線．
（2）設經過t秒后兩圓相切，則兩圓的新圓心均可以表示出來，在分兩種情況討論：外切與內切，根據兩圓相切時半徑的關系即可求解．
（3）作輔助線連接BM和EM，則在△BCM中，∠BCM=60°，同理∠EMA=60°，∴∠BME=60°，證P、B、M、E四點共圓，推出∠PBE=∠PME，證出△PNE是等邊三角形，推出PE=EN，∠PEN=60°，求出∠ENM=∠EPB，證△PBE≌△NME，推出MN=PB，
由此可容易得出PB、PE、PM三者之間的數量關系．
解答：解：（1）∵直線y=-x+與兩坐標軸交于A、B，∴A（3，0），B（0，），MO=1，
過M作MF垂直AB于F，
則∠MFA=∠BOA=90°，
∵∠FAM=∠OAB，
∴△MFA∽△BOA，
∴=，
∵A（3，0），B（0，），M（1，0），
∴OA=3，OB=，OM=1，
∴AM=3-1=2，由勾股定理得：AB=2，
∴=，
MF=1=OM，
∵MF⊥AB，
∴直線AB是小⊙M的切線．

（2）小⊙M以2單位/秒的速度沿x軸向右平移，圓心M（1，0），則移動t秒后的圓心變為（2t+1，0）；
因為B（0，），M（1，0），
所以直線BM的解析式為：y=-x+，
又因為大⊙M以1單位/秒的速度沿射線BM方向平移，圓心M（1，0），則移動t秒后的圓心變為（1+t，-t），
①當兩圓外切時，兩圓心距離為兩圓半徑的和即：=OM+MA=OA=3，
解得t=秒，
②當兩圓內切時，兩圓心距離為兩圓半徑的差即：=1，
解得t=秒，

（3）如下圖作輔助線：ME=2，OB=，在△BCM中，∠BMO=60°，同理∠EMA=60°，
則∠BME=60°，
又∵∠EPB=120°，
∴∠EPB+∠BME=180°，
∴PBME四點共圓，
∵BM=ME，
∴∠BPM=∠EPM=60°，
在PM上截取PN=PE，連接NE，
∵∠EPM=60°，PE=PN，
∴△PNE是等邊三角形，
∴PE=EN，∠PEN=60°，
∴∠ENM=60°+60°=120°=∠EPB，
∵∠PBE=∠NME（在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等），
在△PBE和△NME中
∵，
∴△PBE≌△NME（AAS），
∴PB=NM，
∴PM=PN+NM=PE+PB．
∴PB、PE、PM三者之間的數量關系為：PM=PB+PE．
點評：本題考查的知識點比較多，題目比較綜合適合作為壓軸題出現，難度較大，做題時要認真分析綜合所學的知識仔細求解．