Question

【題目】已知，點E在正方形的邊上（不與點B，C重合），是對角線，延長到點F，使，過點E作的垂線，垂足為G，連接，．

（1）根據題意補全圖形，并證明；

（2）①用等式表示線段與的數量關系，并證明；

②用等式表示線段，，之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)①；②.

【解析】

(1)補全圖形后，如下圖所示，證明△EGC為等腰三角形即可；

(2)①連接GF，GD，證明△BGE≌△FGC，得到GF=GB，再證明△ABG≌△ADG，得到GD=GF，進一步得到△DGF為等腰直角三角形，進而得到；

②連接AE，證明△ABE≌△DCF，得到DF=AE，在Rt△AEG中由勾股定理得到，進而得到.

解：(1)補全圖形如下所示：

證明：∵四邊形ABCD為正方形，AC是對角線

∴∠GCE=45°

∵EG⊥AC

∴∠EGC=90°

∴∠GEC=∠GCE=45°

∴△GEC為等腰直角三角形

∴GC=GE.

(2)①連接GF，GD，如下圖所示：

由(1)知：∠GEB=180°-∠GEC=180°-45°=135°，∠GCF=180°-∠GCE=180°-45°=135°

∴∠GEB=∠GCF

在△GBE和△GCF中

，∴△GBE≌△GCF(SAS)

∴GF=GB，且∠3=∠4

在△ABG和△ADG中

，∴△ABG≌△ADG(SAS)

∴GB=GD，∠1=∠2

故GF=GD，△GDF為等腰三角形

又∠2+∠4=90°

∴∠1+∠3=90°，即∠DGF=90°

∴△GDF為等腰直角三角形

∴.

故答案為：.

②連接AE，如下圖所示：

在△ABE和△DCF中

，∴△ABE≌△DCF(SAS)

∴

又由①中知：

∴

且

在Rt△AGE中，由勾股定理：，將上述等式代入：

故有

即：.

故線段，，之間的數量關系為：.

故答案為：.