Question

【題目】如圖所示，二次函數y=ax2﹣x+c的圖象經過點A（0，1），B（﹣3， ），A點在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C．

（1）求直線AB的解析式和二次函數的解析式；

（2）點N是二次函數圖象上一點（點N在AB上方），過N作NP⊥x軸，垂足為點P，交AB于點M，求MN的最大值；

（3）點N是二次函數圖象上一點（點N在AB上方），是否存在點N，使得BM與NC相互垂直平分？若存在，求出所有滿足條件的N點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+1；y=﹣x2﹣x+1；（2）當m=﹣時，MN取最大值，最大值為；（3）存在點N，使得BM與NC相互垂直平分，點N的坐標為（﹣1，4）

【解析】試題分析：（1）根據已知點的坐標利用待定系數法即可得出結論；
（2）設點N的坐標為 則點M的坐標為

用含的代數式表示出來，結合二次函數的性質即可解決最值問題；
（3）假設存在，設點N的坐標為連接，當四邊形為菱形時， 與相互垂直平分，根據算出的值，從而得出點的坐標，再去驗證是否等于，由此即可得出結論．

試題解析：(1)設直線AB的解析式為：y=kx+b，

∴

∴

∴直線AB的解析式為：

把代入 得,

∴二次函數的解析式為：

(2)設點N的坐標為 則點M的坐標為

∴當 時,MN取最大值,最大值為

(3)假設存在,設點N的坐標為連接BN、CM，如圖所示.

若要BM與NC相互垂直平分，只需四邊形BCMN為菱形即可。

∵點B坐標為 點C的坐標為(3,0)，

∴BC=52.

∵四邊形BCMN為菱形，

解得：

當m=2時,點N的坐標為

故m=2(舍去)；

當m=1時,點N的坐標為(1,4)，

∴點N(1,4)符合題意.

故存在點N,使得BM與NC相互垂直平分,點N的坐標為(1,4).