Question

（1）如圖（1），在△ABC中，∠A=62°，∠ABD=20°，∠ACD=35°，求∠BDC的度數．
（2）圖（1）所示的圖形中，有像我們常見的學習用品--圓規．我們不妨把這樣圖形叫做“規形圖”，觀察“規形圖”圖（2），試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關系，并說明理由．
（3）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：
①如圖（3），把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經過點B、C，若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX=

40

°．
②如圖（4）DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數．

Answer 1

分析：（1）先根據三角形內角和定理求出∠ACB+∠ABC的度數，由∠ABD=20°，∠ACD=35°求出∠DBC+∠DCB的度數，再根據三角形內角和等于180°即可得出結論；
（2）連接BC，在△ABC中由三角形內角和定理可得出∠A+∠ABD+∠ACD=180°-∠DBC-∠BCD，同理，在△DBC中∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD，由此即可得出結論；      
（3）①先根據△XBC中，∠X=90°可知∠XBC+∠XCB=90°，再根據△ABC中，∠A=50°即可得出∠ABC+∠ACB=130°，由此即可得出∠ABX+∠ACX的度數；
②先根據∠DAE=50°，∠DBE=130°得出∠ADB+∠AEB=80°，再由DC平分∠ADB，EC平分∠AEB可知∠ADC=

1

2

∠ADB，∠AEC=

1

2

∠AEB，故可得出∠ADC+∠AEC=

1

2

（∠ADB+∠AEB）=40°，∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=50°+40°=90°．

解答：解：（1）在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-62°=118°，
∵∠ABD=20°，∠ACD=35°，
∴∠DBC+∠DCB=118°-20°-35°=63°               
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=117°；
              
（2）∠BDC=∠A+∠B+∠C．                    
理由：連接BC
在△ABC中，
∵∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠BCD=180°，
∴∠A+∠ABD+∠ACD=180°-∠DBC-∠BCD，
在△DBC中，
∵∠BDC+∠DBC+∠BCD=180°，
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD，
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；
                     
（3）①∵△XBC中，∠X=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，
∵△ABC中，∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∴∠ABX+∠ACX=130°-90°=40°．
故答案為：40；
②∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，
∴∠ADB+∠AEB=80°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC=

1

2

∠ADB，∠AEC=

1

2

∠AEB，
∴∠ADC+∠AEC=

1

2

（∠ADB+∠AEB）=40°，
∴∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=50°+40°=90°．

點評：本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形的內角和等于180°是解答此題的關鍵．