Question

如圖所示，△ABC的外接圓圓心O在AB上，點D是BC延長線上一點，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的邊ND上的中線．
（1）求證：AB=DN；
（2）試判斷CP與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（3）若PC=5，CD=8，求線段MN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB為元O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到一對角相等，再利用等角的余角相等得到一對角相等，根據AC=CD，利用ASA得出三角形ABC與三角形DNC全等，利用全等三角形的對應邊相等即可得證；
（2）CP與圓O相切，理由為：連接OC，CP為直角三角形斜邊上的中線，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到PC=PN，都為斜邊的一半，利用等邊對等角得到一對角相等，再由對頂角相等得到一對角相等，利用等邊對等角及等量代換得到OC垂直于CP，即可得證；
（3）由PC求出DN的長，根據三角形ABC與三角形DCN全等，得到CN=CB，由AC=CD，AB=DN，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出BC的長，即為CN的長，由AC-CN求出AN的長，在直角三角形AMN與直角三角形ABC中，利用銳角三角函數定義表示出sinA，將各自的值代入即可求出MN的長．
解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°=∠NCD，
∵DM⊥AB，
∴∠AMN=90°，
∴∠ABC+∠A=∠ABC+∠D=90°，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DNC中，
，
∴△ABC≌△DNC（ASA），
∴AB=DN；
（2）解：CP是⊙O的切線，理由為：
證明：連接OC，
∵CP是△CDN的邊ND上的中線，∠NCD=90°，
∴PC=PN=DN，
∴∠PCN=∠PNC，
∵∠ANM=∠PNC，
∴∠ANM=∠PCN，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠A+∠ANM=90°，
∴∠ACO+∠PCN=90°，
∴∠PCO=90°，
∴CP是⊙O的切線；
（3）∵PC=5，
∴DN=2PC=10，
∵△ABC≌△DNC，
∴CN=CB，AC=CD=8，AB=DN=10，
∴CN=BC==6，
∴AN=AC-CN=2，
∵sinA==，
∴=
∴MN=．
點評：此題考查了切線的判定，全等三角形的判定與性質，勾股定理，以及銳角三角函數定義，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．