Question

如圖，在平面直角坐標系中，點C（-3,0），點A、B分別在x軸，y軸的正半軸上，且滿足.
小題1:求點A、B坐標
小題2:若點P從點C出發，以每秒1個單位的速度沿射線CB運動，連接AP。設△ABP面積為S，點P的運動時間為t秒，求S與t的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍
小題3:在（2）的條件下，是否存在點P，使以點A、B、P為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由。（本題滿分8分）

Answer 1

小題1:A(1,0)  B(0,) -----------2分
小題2:=2-t  (0≤t≤) -----------4分
=t-  (t＞) -----------6分
小題3:P(-3,0), (-1,), (1,), (3, ) -----------8分
(答對1個得0.5分)

解：
（1）∵
∴OB²-3=0，OA-1=0．
∴OB= ，OA=1．
點A，點B分別在x軸，y軸的正半軸上，
∴A（1，0），B（0， ）．
（2）由（1），得AC=4，=1²+()²=2，=()²+(3)²=2，
∴AB²+BC²=2²+（2 ）²=16=AC²．
∴△ABC為直角三角形，∠ABC=90°．設CP=t，過P作PQ⊥CA于Q，由△CPQ∽△CBO，易得PQ= ，
∴S=S△ABC-S△APC= ×4×-×4×= 2-t（0≤t＜ 23）．
（3）P(-3,0), (-1,), (1,), (3, )