Question

【題目】定義：如果一個三角形一條邊上的高與這條邊的比值是3：5，那么稱這個三角形為“準黃金”三角形，這條邊就叫做這個三角形的“金底”．

（概念感知）

（1）如圖1，在中，，，，試判斷是否是“準黃金”三角形，請說明理由．

（問題探究）

（2）如圖2，是“準黃金”三角形，BC是“金底”，把沿BC翻折得到，連AB接AD交BC的延長線于點E，若點C恰好是的重心，求的值．

（拓展提升）

（3）如圖3，，且直線與之間的距離為3，“準黃金”的“金底”BC在直線上，點A在直線上．，若是鈍角，將繞點按順時針方向旋轉得到，線段交于點D．

①當時，則_________；

②如圖4，當點B落在直線上時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）是“準黃金”三角形，理由見解析；（2）；（3）①；②．

【解析】

（1）過點A作于點D，先求出AD的長度，然后得到，即可得到結論；

（2）根據題意，由“金底”的定義得，設，，由勾股定理求出AB的長度，根據比值即可求出的值；

（3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，先求出AC的長度，由相似三角形的性質，得到AF=2DF，由解直角三角形，得到，則，即可求出DF的長度，然后得到CD的長度；

②由①可知，得到CE和AC的長度，分別過點，D作，，垂足分別為點G，F，然后根據相似三角形的判定和性質，得到，然后求出CD和AD的長度，即可得到答案．

解：（1）是“準黃金”三角形．

理由：如圖，過點A作于點D，

∵，，

∴．

∴．

∴是“準黃金”三角形．

（2）∵點A，D關于BC對稱，

∴，．

∵是“準黃金”三角形，BC是“金底”，

∴．

不防設，，

∵點為的重心，

∴．

∴，．

∴．

∴．

（3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，如圖：

由題意得AE=3，

∵，

∴BC=5，

∵，

∴，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：

，

∴，

∴；

∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF，

∴△ACE∽△DAF，

∴，

設，則，

∵∠ACD=30°，

∴，

∴，

解得：

∴．

②如圖，過點A作于點E，則．

∵是“準黃金”三角形，BC是“金底”，

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴，．

分別過點，D作，，垂足分別為點G，F，

∴，，，則．

∵，

∴．

∴．

∴設，，．

∵，

∴，且．

∴．

∴．

∴，解得．

∴，．

∴．