Question

【題目】如圖，矩形EFGH的頂點E，G分別在菱形ABCD的邊AD ，BC上，頂點F，H在菱形ABCD的對角線BD上，若AB=6，∠A=120°，且DE=2，則FH=_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據菱形的性質得到AD∥BC，得到∠GBF=∠EDH，可證明△BGF≌△DEH（AAS），得到BG=DE；連接GE，過點G作GQ//AB，交AD于點P，過點E作EQ⊥GQ，垂足為Q，證明四邊形ABGP為平行四邊形，得到AP=BG=2，∠GPE=120°，求得PE=2，∠EPQ=60°，進而求得PQ=1，QE=，運用勾股定理求得GE的長，從而可得FH的長．

∵四邊形EFGH是矩形，

∴EH=FG，EH∥FG，

∴∠GFH=∠EHF，

∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，

∴∠BFG=∠DHE，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠GBF=∠EDH，

∴△BGF≌△DEH（AAS），

∴BG=DE；

∵DE=2，

∴BG=2；

過點G作GQ//AB，交AD于點P，過點E作EQ⊥GQ，垂足為Q，如圖，

則四邊形ABGP是平行四邊形，

∴AP=BG=2，GP=AB=6，∠GPE=∠A=120°，

∴∠EPQ=60°，PE=AD-AP-DE=6-2-2=2

在Rt△PQE中 , ∠EPQ=60°，PE=2

∴∠QEP=30°，

∴QP=1

∴

在Rt△GQE中，∠GQE=90°，GQ=GP+PQ=6+1=7，

∴

∵四邊形EFGH是矩形，

∴FH=GE=．

故答案為：．