Question

【題目】已知：如圖，□ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠BAD＝120°，E為BC上一動點(不與B點重合)，作EF⊥AB于F，FE，DC的延長線交于點G，設BE＝x，△DEF的面積為S．

(1)求證：△BEF∽△CEG；

(2)求用x表示S的函數表達式，并寫出x的取值范圍；

(3)當E點運動到何處時，S有最大值，最大值為多少?

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)(3)當x＝3時，S最大值．

【解析】

(1) 由∠BFG=∠G=90°，∠BEF=∠CEG，得△BEF∽△CEG；

（2）設BE=x，在平行四邊形ABCD中，因為∠BAD=120°所以∠B=60°=∠ECG，又BE=x，EC=3-x，所以EF、CG可利用三角函數求出，即在△EFG中，邊和邊上的高就為已知，從而求出解析式；

（3）由拋物線的開口方向和對稱軸可得，當0＜x≤3時，S隨x的增大而增大，
所以，當x=3時，即E與C重合時，取最大值.

（1）證明：∵EF⊥AB，AB∥DC，

∴EF⊥DG．

∴∠BFG=∠G=90°．
又∵∠BEF=∠CEG，

∴△BEF∽△CEG；
（2）解：由（1）得DG為△DEF中EF邊上的高，設BE=x，
在Rt△BFE中， EF=BEsinB=x．

在Rt△CEG中，CE＝3x，GC＝(3x)cos60°＝，

得DG＝DC+GC＝，

所以，S＝EFDG＝x2+x，（其中0＜x≤3）；
（3）解：∵a＝＜0，對稱軸x＝＞3，

∴當0＜x≤3時，S隨x的增大而增大，
所以，當x=3時，即E與C重合時，取最大值S最大值＝3．